Asıl sayı nedir?

Asal sayılar, sadece kendisi ve 1 sayısına bölünebilen 1’den büyük pozitif tam sayılar biçiminde tanımlanırlar. Asal sayıların 1 ve kendisinden başka tam böleni yoktur. Örneğin; 5 sayısı 3' e ya da 2’ye tam bölünmez. Sadece 1’e ve kendisine tam bölünebilir o yüzden 5 asaldır. 1' den 100' e kadar olan asal sayılardır.

Asıl sayı nedir?


Yalnız bir ve kendisi ile bölünebilen birden büyük doğal sayılar asal sayıdır.
Bütün bölenlerinin kümesi ancak ve ancak iki elemanlı birden büyük doğal sayılar

Sıfırdan ve birden farklı doğal sayılar kümesinde bir sayının böleni yalnız ve yalnız kendisiyse asal sayıdır
Yukarıdaki tanımlara göre 2,3,5,7,11,13,17... sayıları asaldır. Bir tanım gereği asal değildir. Sıfır ise Bire bölünebilir fakat kendisiyle bölümünden sonuç sonsuz olduğu için asal sayı değildir. Buna göre 2 biricik çift asal sayıdır. Diğer bütün sayılar ikiye bölünebildiği için asal değildirler.


Asal olmayan 0,1 den farklı doğal sayılara bileşik sayı denir buna göre doğal sayılar kümesi üç kümenin birleşiminden oluşur
A:{0,1}U B:{x:x asal sayı}U C:{x:x>1 x bileşik sayı}=Doğal sayılar kümesi


ASAL SAYILAR ÇİZELGESİNİN BULUNUŞU (ERATOSTEN KALBURU)


Çizelge n sayısına kadar olan asal sayıları bulmak için kullanılır. n sayısı aşırı büyük olmamalıdır. Yöntem son derece basittir. Şimdi n i 110 alarak çizelgeyi çizmeye çalışalım
Önce 0 dan 110 kadar bütün doğal sayılar yazılır.0 ile 1 asal değildir çizilir.


b)İlk asal sayı 2dir Kendinden büyük katları çizilir Çünkü bunlar iki ve bire bölündüğünden asal değildir. Dikkat edilirse çizilen ilk sayı
22 =4tür
c)Sonra sıra çizilmeyen ilk sayı olan 3 e gelir .3 asaldır. Onunda kendinden büyük katları çizilir. İlk çizilen 32 =9 dur.
d)Bu şekilde devam edilir.72 =49damn sonra devam edilmez çünkü 112 =121 tabloda yoktur. Böylece 1 den 110 a kadar olan asal sayılar çizilmeyenler olarak karşımıza çıkar.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110


ERATOSTEN KALBURUNUN ÖZELLİKLERİ


TEOREM: Eratosten Kalburu metodunda asal sayıların kendilerinden büyük katları çizildiğinde, çizilmemiş en küçük ilk X sayısı asaldır. Bunu olmayana ergi metodundan ispatlayabiliriz.
İSPAT:Biran için X in asal olmadığını varsayalım .O zaman X in kendisi ve birden başka kendinden küçük bir B böleni, olmalıdır. X çizilmeyen en küçük sayıydı (Hipotez) O halde B böleni çizilen sayılar arasındadır .Bu ise Bnin daha önce belirtilmiş asal sayılardan birinin kendisinden farklı katı olduğunu gösterir.Bu çizelge metodun ismi olan eratosten Kalburu ismini alır

O halde bu asal sayılardan biri B yi böler B de X i böldüğünden (Bölünebilme bağıntısı geçişlidir)Bu asal sayı X i böler .Buradan X in bu asal sayının kendisinden farklı katı olduğu çıkar ki o zaman X in çizilmesi gerekir .Ama asal sayı olduğu için çizilmemiştir. Çelişki vardır. Onun için X asal sayı olmak zorundadır.

BİZE ULAŞIN