En küçük asal sayı kaçtır? İkiz asal sayılar ve Goldbach Hipotezi

Matematik hayatımızın pek çok alanında karşımıza çıkan bir konu. Matematik bilgisi sahibi olmak günlük yaşamımızda da pek çok hesaplama işinde bizlere kolaylık sağlamaktadır. Pek çok konuyu içerisinde barındıran matematikte asal sayılar da önemli konular arasında yer alıyor. Bu bağlamda Asal sayı nedir? sorusuna yanıt aranmaya devam ediyor. Öte yandan en küçük asal sayı kaçtır? Sorusu da merak edilenler arasında yer alıyor. Peki, Asal sayı nedir, en küçük asal sayı kaçtır? İşte detaylar…

ASAL SAYI NEDİR? EN KÜÇÜK ASAL SAYI KAÇTIR?

Matematik'te asal sayı adı verilen sayılar, yalnızca iki pozitif tam sayı böleni bulunan doğal sayılara denilmektedir. Yalnızca kendisine kalansız olarak bölünebilen 1'den büyük pozitif özellikte sayılardır. En küçük özellikteki asal sayı 2'dir.

Öklid dönemlerinden bu yana asal sayıların sonsuz özellikte bulunduğu bilinmektedir. Asal sayılarla ilgili pek çok soru halen cevap bulamamıştır. Yüzyıllardan bu yana asal sayılarla ilgili pek çok teorem ortaya çıkarılmış ve kanıtlanmıştır. Asal sayı bulunması adına çok sayıda formül üretilmiş ancak hüsranla sonuçlanmıştır. Sayılar teorisi üzerinde en fazla uğraş verilen konu asal sayılara ilişkin söz konusu şekilde sorulardır. Asal sayılar kriptografi'nin de ayrılmaz parçalarındandır.

1 SAYISI İLE İLGİLİ ÖZEL DURUMLAR

1 sayı olarak asal sayı veya bileşik olarak kabul edilmemektedir. Özel durumları mevcuttur. Geçmiş zamanlarda matematikçiler tarafından 1 asal sayı olarak görülüyordu. 1 sayısının asal sayı olarak kabul edilmesiyle ilgili pek çok kanıt halihazırda geçerliliklerini korumaktadır.

İKİZ ASALLAR

2 sayı arasındaki farkın 2 olduğu asal sayılar ile ilgili konjektürdür.

Örnek olarak

• (3, 5)
• (5, 7)
• (11, 13)
• (17, 19)
• (29, 31)
• (41, 43)
• (59, 61)
• (71, 73)
• (101, 103)
• (107, 109)

GOLDBACH HİPOTEZİ

Asal sayılara ilişkin ortaya atılan Goldbach hipotezi, doğru olarak görünüyor olsa da kanıtlanamamıştır. Ve şu soru ortaya çıkmaktadır, Her çift sayı iki asal sayının toplamı mıdır?

Örnek olarak verilecek olursa

• 4 = 2 + 2
• 6 = 3 + 3
• 8 = 3 + 5
• 10 = 3 + 7
• 12 = 5 + 7
• 14 = 3 + 11
• 16 = 3 + 13
• 18 = 5 + 13
• 20 = 3 + 17
• 22 = 3 + 19
• 24 = 5 + 19
• 26 = 7 + 19
• 28 = 5 + 23
• 30 = 7 + 23
• 32 = 3 + 29
• 34 = 5 + 29
• 36 = 7 + 29

Mersenne sayıları

Herhangi bir asal a sayısı olduğu varsayılırsa (2a – 1) şeklinde yazılabilen sayılar Mersenne sayıları olarak kabul edilir.

Örnek verilirse

• 2 => 22 – 1 = 3
• 5 => 25 – 1 = 31